挠度计算公式的基本推导

发布时间：2024-11-13

     随着科学技术的进步以及建筑设计的发展，力学建筑不仅坚固，而且给人一种踏实舒服的感觉，那么一些工程建设就需要精确的科学计算之后，然后才开始进行工程的开发，下面小编就为大家简单的叙述一下挠度计算公式，以帮助一些建筑的设计完成。

第一步：

1. 当荷载的力作用在跨中时挠度的计算方式是：fmax=（P·L3）/（48×E·I）

2. 当荷载作用在任意一点时挠度的计算方式：fmax=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。

也就是说这两种情况我们如果进行分析的话，我们会发现集中荷载作用在任意一点时，也就是说任意一点可以是中点，那么上面的‚式就会包含式，而式知识挠度公式中的一个特例，当然也就是L1=L2= L/2这种情况。那么我们就可以这样思考了，将L1=L2= L/2代入‚式中，max=｛P·L1·L2（L＋L2）·[3×L1·（L＋L2）]1/2｝/（27×E·I·L）。

     =｛P·L/2·L/2（L＋L/2）·[3×L/2·（L＋L/2）]1/2｝/（27×E·I·L）

=｛P·L2/4·（3L/2）·[9×L2/4]1/2｝/（27×E·I·L）

=｛P·（3L2/8）·[3×L/2] ｝/（27×E·I）

=  P·（9L3/16）/（27×E·I）

=（P·L3）/（48×E·I）

这样也就验算了以上的思想了。

第二步：

简单的推导过程:

我们以简支梁来为例：全粱应将其分为两段

对于梁的左段来说，则当0≤X1≤L1时，其弯矩方程可以表示为：

Mx1=（P·L2/L）·X；设f1为梁左段的挠度，则由材料力学。

E·I·f1／／=（P·L2/L）·X

积分得E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1   

二次积分：E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1   ‚

因为X1等于零时：

简支梁的挠度f1等于零（边界条件）

将X1=0代入（2）得D1=0

而对于梁的右段，即当L1≤X2≤L时，其弯矩方程可以表现为：

MX2=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）；

设f2为梁右段的挠度，则由材料力学

E·I·f2／／=（P·L2/L）·X－P·（X－L1）

积分得E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P（X－L1）2/2]＋C2      ƒ

二次积分：E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2   ④

将左右段连接，则可以

①在X=0处，f1=0；

②在X=L1处，f1／= f2／（f1／、 f2／为挠曲线的倾角）；

③在X=L1处，f1= f2；

④在X=L处，f2=0；

由以上四条件求得（过程略）：C1= C2= -[（P·L2）/6 L]·（L2－L22）；D1=D2=0。

代入公式、‚、ƒ、④整理即得：

对于左段   0≤X≤L1

E·I·f1／=（P·L2/L）·X2/2＋C1            （1）

          = P·L2/6L ·[3X2－（L2－L22）]          （5）

E·I·f1=（P·L2/L）·X3/6＋C1X＋D1          （2）

= （P·L2/6×L）·[X3－X（L2－L22）]               （6）

对于右段  L1≤X≤L

E·I·f2／=（P·L2/L）·X2/2－[P·（X－L2）2/2]＋C2         （3）

= （P·L2/6×L）·[3X2－（L2－L22）]-[ P/2·（X－L1）2]        （7）

E·I·f2=[（P·L2/L）·X3/6]－[P·（X－L1）3/6]＋C2X＋D2         （4）

= （P·L2/6L）·[X3－X（L2－L22）] -[P/6·（X－L1）3]          （8）

等一一对应的过程式。